Групи, багаті близькими до нільпотентних підгрупами

Abstract

У дисертаційній роботі досліджуються групи, які мають багато підгруп, що за своїми властивостями в певному сенсі близькі до нільпотентних підгруп. Встановлено, що локально ступінчата група, яка не є розширенням черніковської (відповідно абелевої) групи за допомогою абелевої (відповідно черніковської) групи, має нескінченний строго спадний ланцюг підгруп, що не є розширеннями черніковських (відповідно абелевих) груп за допомогою абелевих (відповідно черніковських). Доведено, що недосконала локально ступінчата група із власними нормальними підгрупами, які є розширеннями нільпотентних груп за допомогою черніковських груп, сама є такою. Охарактеризовано групи без неодиничних досконалих секцій, що задовольняють умову мінімальності для підгруп, які не є розширеннями скінченних груп за допомогою нільпотентних груп. Встановлено, що існують групи, які не є розширеннями черніковських груп за допомогою нільпотентних груп, в той час, як всі їхні власні підгрупи є такими (тобто існують мінімальні не ČN-групи). Доведено, що недосконала група є мінімальною не ČN-групою тоді і тільки тоді, коли вона є групою типу Хайнекена-Мохамеда (тобто ненільпотентною групою з нільпотентними і субнормальними власними підгрупами). Доведено, що в групі G, яка задовольняє умову мінімальності для ненільпотентних (відповідно негіперцентральних) підгруп, кожна підгрупа, що є мінімальною ненільпотентною (відповідно мінімальною негіперцентральною) групою, субнормальна в G. Досліджено також будову періодичних розв'язних груп з умовою максимальності Мах — АF для не майже абелевих підгруп. Вивчено зв'язки властивостей брейса з властивостями його адитивної і приєднаної груп. Введено в розгляд групу, яка асоційована з брейсом, та встановлено залежності між асоційованою групою ідеала в брейсі і асоційованою групою самого брейса. Знайдено необхідню і достатню умову, за якої група, яка асоційована з модулем над брейсом, буде групою Фробеніуса. Для нільпотентного зліва (відповідно нільпотентного справа) брейса А встановлено, що адитивна група А+ є р-групою (відповідно групою без скруту) тоді і тільки тоді, коли приєднана група А° є р-групою (відповідно групою без скруту). Доведено, що для нільпотентного зліва брейса його асоційована група нільпотентна, а для нільпотентного справа бреса його асоційована група розв'язна. The thesis is devoted to groups with many subgroups related to nilpotent groups. It is proved that a locally graded non-"Černikov-by-abelian" (respectively non-"abelian-by-Černikov") group contains an infinite properly descending chain of non-"Černikov-by-abelian" (respectively non-"abelian-by-Černikov") subgroups and a non-perfect locally graded group with nilpotent-by-Černikov proper normal subgroups is also too. It is characterized groups without non-trivial perfect sections with the minimality condition on non-"finite-by-nilpotent" subgroups. It is shown that there exist non-"Černikov-by-nilpotent" groups with proper Černikov-by-nilpotent subgroups (i.e., there exist minimal non-ČN-groups) and it is proved that a non-perfect group is a minimal non-ČN-group if and only if it is a Heineken-Mohamed type group (i.e. a non-nilpotent group with nilpotent and subnormal proper subgroups). In a group G with the minimality condition on non-nilpotent (respectively non-hypercentral) subgroups every subgroup that is a minimal non-nilpotent (respectively minimal non-hypercentral) group is subnormal in G. It is described torsion soluble groups with the maximality condition on non-"abelian-by-finite" subgroups. The connection of properties of a brace with properties of its additive and adjoint groups are described. It is introduced the group associated with a brace and it is investigated its properties. Necessary and sufficient condition for the associated group of a brace to be a Frobenius group is determined. For a left nilpotent (respectively right nilpotent) brace A it is proved that the additive group A+ is a p-group (respectively a torsion-free group) if and only if its adjoint group A° is a p-group (respectively a torsion-free group). Moreover, the associated group of a left nilpotent brace is nilpotent, but the associated group of a right nilpotent brace is soluble.