On the derivations of cyclic Leibniz algebras

Abstract

Let L be an algebra over a field F. Then L is called a left Leibniz algebra, if its multiplication operation [−, −] additionally satisfies the so-called left Leibniz identity: [[a, b], c] = [a, [b, c]] − [b, [a, c]] for all elements a, b, c ∈ L. A linear transformation f of a Leibniz algebra L is called a derivation of an algebra L, if f([a, b]) = [ f(a), b] + [a, f(b)] for all elements a, b ∈ L. It is well known that the set of all derivations Der(L) of a Leibniz algebra L is a subalgebra of the Lie algebra EndF(L) of all linear transformations of an algebra L. The algebras of derivations of Leibniz algebras play an important role in the study of structure of Leibniz algebras. Their role is similar to that played by groups of automorphisms in the study of group structure. In this paper, a complete description of the algebra of derivations of nilpotent cyclic Leibniz algebra is obtained. In particular, it was proved that this algebra is metabelian and supersoluble Lie algebra, and its dimension is equal to the dimension of an algebra L.

Нехай L – алгебра над полем F. Тодi L називатимемо лiвою алгеброю Лейбнiца, якщо її операцiя множення [−, −] додатково задовольняє так званiй лiвiй тотожностi Лейбнiца: [[a, b], c] = [a, [b, c]] − [b, [a, c]] для всiх елементiв a, b, c ∈ L. Лiнiйне перетворення f алгебри Лейбнiца L називатимемо диференцiюванням алгебри L, якщо f([a, b]) = [ f(a), b] + [a, f(b)] для всiх елементiв a, b ∈ L. Добре вiдомо, що множина усiх диференцiювань Der(L) алгебри Лейбнiца L є пiдалгеброю алгебри Лi EndF(L) усiх лiнiйних перетворень алгебри L. Алгебри диференцiювань алгебр Лейбнiца вiдiграють важливу роль у вивченнi структури алгебр Лейбнiца. Їх роль аналогiчна тiй, яку вiдiграють групи автоморфiзмiв при вивченнi структури груп. У цiй роботi отримано повний опис алгебри диференцiювань нiльпотентної циклiчної алгебри Лейбнiца. Зокрема, було доведено, що ця алгебра є метабелевою та надрозв’язною алгеброю Лi, а її вимiрнiсть дорiвнює вимiрностi алгебри L.